[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

125. จงแก้ระบบสมการ

$$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}} = \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}.............(1)$$
$$\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)} = \frac{2}{9}.............(2)$$

จากสมการ 2 เราได้ว่า $0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2},0\leqslant y\leqslant\frac{1}{2} \Rightarrow 0\leqslant xy\leqslant\frac{1}{4} $

lemma 1 : ถ้า $a,b\geqslant 0, ab\leqslant 1$ แล้ว $ \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \leqslant \frac{2}{1+ab} $

จับมาลบอีกด้านจะได้ $$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}=\frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)} \leqslant0$$
อสมการจะเป็นสมการเมื่อ $a=b \vee ab=1$

lemma 2 : ถ้า $a,b\geqslant 0, ab\leqslant 1$ แล้ว $ \frac{1}{\sqrt{1+a^2} }+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}} \leqslant \frac{2}{\sqrt{1+ab}} $

จับยกกำลังสองจะได้ $$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{2}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}\leqslant \frac{4}{1+ab} $$
แต่จากโคชีจะได้ $$\frac{2}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}\leqslant\frac{2}{1+ab} $$
และโดย Lemma 1 จะได้ว่า อสมการข้างบนเป็นจริง
อสมการจะเป็นสมการเมื่อ $a=b$

แทน $a=\sqrt{2}x,b=\sqrt{2}y $ ใน lemma 2 จะได้ $$ \frac{1}{\sqrt{1+2x^2} }+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}} \leqslant \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$$
แต่จากสมการ 1 แสดงว่าอสมการเป็นสมการจะได้ $x=y$ แทนลงในสมการ 2 จะได้
$$\sqrt{x(1-2x)}=\frac{1}{9}\Rightarrow 162x^2-81x+1=0 \Rightarrow (x-\frac{1}{4} )^2=\frac{73}{1296} \Rightarrow x= \frac{9\pm \sqrt{73} }{36} $$
$\therefore (x,y)=(\frac{9+\sqrt{73} }{36},\frac{9+\sqrt{73} }{36}),(\frac{9-\sqrt{73} }{36},\frac{9-\sqrt{73} }{36})$
ยากเกินไปครับคุณ -InnoXenT- (สำหรับ ม.ปลายน่ะ)