[tatari/nightmare]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

44. ให้ $P(x)$ และ $Q(x)$ เป็นพหุนามเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์
ถ้าพหุนาม $P(x)^2+Q(x)^2$ มีรากเป็นจำนวนจริง แล้ว
จงแสดงว่ามีจำนวนจริง $\lambda\neq 0$ ซึ่งทำให้ $P(x)=\lambda Q(x)$

ให้ $P(x)^2+Q(x)^2=R(x)$ จะได้ว่า R(x)เป็นพหุนามกำลังสอง กำหนด $x_{0}$ เป็นรากของ R(x)
$\therefore P(x_{0})^2+Q(x_{0})^2=0$ จากสิ่งที่กำหนดให้จึงได้ว่า $x_{0}\in \mathbb{R}$
ฉะนั้น $P(x_{0}),Q(x_{0})\in \mathbb{R}$ แต่จาก $P(x_{0})^2+Q(x_{0})^2=0$
$\therefore P(x_{0})=Q(x_{0})=0$ จาก $P(x)$ และ $Q(x)$ เป็นพหุนามเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ จึงให้ $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ ที่ $$P(x)=ax+b,Q(x)=cx+d$$ จะได้
$P(x_{0})=ax_{0}+b=0=Q(x_{0})=cx_{0}+d$ ดังนั้น $x_{0}=\frac{-b}{a}=\frac{-d}{c}$
จะได้ $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ สมมติว่าให้เท่ากับ k $\therefore b=ak,d=ck$ นั่นคือ
$P(x)=ax+ak,Q(x)=cx+ck$ พิจารณา $$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{ax+ak}{cx+ck}=\frac{a}{c}$$ ดังนั้น $P(x)=\frac{a}{c}\bullet Q(x)$ และจากที่ $a,c\not= 0$ ฉะนั้น $\frac{a}{c}\not=0$
ได้สิ่งที่ต้องการ #