[Euler-Fermat]

1.$x^2-x+1=0$
$\therefore x^3 = -1$
$x^9 + x^{-9} + x^6 + x^{-6} + x^3 + x^{-3} + 1 = -1-1+1+1-1-1+1 = -1$

2. ให้ S = ระยะทาง
$\frac{S}{x-y} = 84.....(1)$ , $\frac{S}{x+y}= \frac{S}{x} - 9..........(2)$
ได้ $\frac{S}{x}-\frac{S}{x+y} = 9 $
$ Sy = 9x^2+9xy .......(3) $
จาก $(1)$ แทน ใน $(3)$
ได้ $84xy-84y^2 = 9x^2+9xy $
$9x^2-75xy+84y^2 = 0$
$3x^2-25xy+28y^2 = 0$
$(3x-4y)(x-7y) = 0 $
ไ้ด้$ x = \frac{4y}{3} ,7y$
แทน $x$ ไป ใน $(1) $
$Case I : x =\frac{4y}{3} $
จะได้ $S = 28y $
ดังนั้น $t = \frac{28y}{\frac{7y}{3}} = 12 $นาที
$Case II ; x =7y$
ได้ $S = 84(6)y$
ดังนั้น $ t= \frac{84(6)y}{8y} = 63 นาที $