อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Wings_Evolution
กำหนด $p(x)$ เป็นพหุนามโมนิคที่ สปส. เป็นจำนวนเต็มจงแสดงว่าถ้ามีจำนวนเต็ม$a,b,c,d$ ที่ต่างกัน ซึ่งทำให้$p(a) =p(b) =p(c) =p(d) = 5$ แล้วจะไม่มีจำนวนเต็ม $k$ ซึ่ง $p(k) = 8 $
|
จากข้อมูลที่ให้มา แสดงว่าเราสามารถเขียน P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x) + 5
โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน และ Q(x) เป็นพหุนามโมนิกบนจำนวนเต็ม
สมมติให้มีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ P(k) = 8
แต่ P(k) = (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) + 5
ดังนั้นแสดงว่า (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) = 3
ถ้า k มีค่าเท่ากับ a หรือ b หรือ c หรือ d แล้วจะทำให้ (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) = 0 ซึ่งไม่เท่ากับ 3 แน่นอน
ถ้า k ไม่เท่ากับ a, b, c, d ใดเลย จะได้ว่า (k-a) , (k-b), (k-c), (k-d) เป็นจำนวนเต็มที่ต่างกันทั้งหมด ส่วน Q(k) อาจจะเท่ากับบางค่าใน (k-a) , (k-b), (k-c), (k-d)
แต่เนื่องจาก 3 ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเต็มที่ต่างกัน 4 จำนวนได้ อย่างมากก็ 2 จำนวน คือ 3 = (1)(3) หรือ (-1)(-3) ดังนั้นจึงไม่เป็นไม่ได้ที่ (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) = 3