วิธีพิสูจน์ Nesbitt จาก
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$$ $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}$$ บวกกันจะได้ Nesbitt
ข้อต่อมา เรา claim ว่าคำตอบคือ $\dfrac{n(n-1)}{2}$ จะพิสูจน์โดยการ induction ขั้นฐานตรวจสอบได้ไม่ยาก ให้เลขทั้ง 2 ตัวที่ถูกแบ่งคือ $a,b$ จะได้ว่า ผลบวกของผลคูณทั้งหมดมีค่า
$$ab+\dfrac{a(a-1)}{2}+\dfrac{b(b-1)}{2}=\dfrac{a^2+2ab+b^2-a-b}{2}=\dfrac{(a+b)(a+b-1)}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$$
|