[M@gpie]

เริ่มจะค่อยๆเข้าใจแล้วครับ (รึเปล่า??) เอาเป็นว่าช่วงเปิดหาเมเชอร์ได้ก็แล้วกันครับ อิอิ จำเอาดื้อๆ
ต่อไป
หลักการหาปริพันธ์เลอเบกก็คือเราจะแบ่งเซตออกเป็นช่วงย่อยๆ ที่สามารถหาเมเชอร์ได้ และ แทนค่าฟังก์ชันด้วยฟังก์ชันอย่างง่าย ใช่รึเปล่าครับ ?? เช่น
\[ f(x) = \biggl\{ \begin{array}{rcl} 1 & ; & x \in Q \cap [0,1] \\ 0 & ; & x \in Q \prime \cap [0,1] \end{array} \]
จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันอย่างง่าย และจะได้ค่าปริพันธ์เลอเบกเป็น
\[ \int _{[0,1]} f \; d \; \mu = 1 \cdot \mu \{Q \cap [0,1] \} + 0 \cdot \mu \{ Q \prime \cap [0,1] \} = 0 \]

ฝากโจทย์ไว้ 2 ข้อคับ ผมลองทำแล้วอยากเช็คคำตอบ แล้วก็แนวคิดด้วยคับ
จงหาค่าปริพันธ์ \( \int _{A} f \; d \mu \) เมื่อ
1. \( A=[0,\infty) \) และ \( f(x) = e^{-[x]} \)
วิธีทำของผมคือแบ่ง \(A= \{0\} \cup (0,1) \cup \{ 1 \} \cup (1,2) \cup \{ 2 \} ... \)
แล้ว f ในแต่ละช่วงจะเป็น step function ซึ่งได้คำตอบคือ \( \frac{e}{e-1} \)
2. \( A=[0,1] \) และ
\[ f(x) =\biggl\{ \begin{array}{rcl} \cos x & ; & x \in Q \\ \sin x & ; & x \in Q \prime \end{array} \]
อันนี้ไม่มั่นใจครับรอเฉลย อิอิ

แล้วขอตัวอย่างโจทย์ที่ f ไม่เป็นฟังก์ชันอย่างง่าย หรือว่า เป็นฟังก์ชันแบบอื่นๆรึเปล่าครับ แหะๆ พร้อมวิธีคิดด้วยจะดีมากเลยคับ หรือจะเป็นเวบให้ศึกษาก็ได้ครับ ขอบพระคุณล่วงหน้าเลยคร้าบ