อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut
3. จงหาฟังก์ชัน 1-1 $f,g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ทำให้
$f(x+f(y))=g(x)+h(y)$
$g(x+g(y))=h(x)+f(y)$
$h(x+h(y))=f(x)+g(y)\quad \forall x,y\in\mathbb{R}$ (12.5 คะแนน)
|
พิจารณาสมการ
$P(x,y); \quad f(x+f(y))=g(x)+h(y)$
$P(0,x); \quad f(f(x))=g(0)+h(x)$
$P(f(x),y); \quad f(f(x)+f(y))=g(f(x))+h(y)$
$P(f(y),x); \quad f(f(x)+f(y))=h(x)+g(f(y))$
ดังนั้น $g(f(x))-h(x)=g(f(y))-h(y)$
$g(f(x))=h(x)+C_1$
ต่อมาพิจารณา
$Q(x,y); \quad g(x+g(y))=h(x)+f(y)$
$Q(x,f(y)); \quad g(x+g(f(y)))=h(x)+f(f(y))$
$g(x+h(y)+C_1)=h(x)+h(y)+g(0)$
$Q(y,f(x)); \quad g(y+h(x)+C_1)=h(x)+h(y)+g(0)$
$g(x+h(y)+C_1)=g(y+h(x)+C_1)$
$x+h(y)+C_1=y+h(x)+C_1$
$h(x)-x=h(y)-y$
$h(x)=x+C_2$
ในทำนองเดียวกัน $f(x)=x+C_3,g(x)=x+C_4$
แทนลงในสมการจะพบว่า $C_2=C_3=C_4$
ดังนั้นคำตอบคือ $f(x)=g(x)=h(x)=x+k$ ครับ
Comment a bit: ตอนทำรู้สึกว่าทำอย่างไร้จุดหมายมาก แต่ก็รู้สึกว่าเป็นข้อที่ยากข้อนึงเลยครับ