[Pitchayut]

FE ข้อ 4 ครับ ช่วยเช็คให้ด้วยนะครับ เผื่อมี bug

ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f\left(\dfrac{y}{f(x+1)}\right)+f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y)$

สมมติ $f(k)>\dfrac{1}{k}$ จะได้ว่า $P\left(\dfrac{1}{kf(k)-1},k\right)$ ให้ว่า $f(r)=0$ เมื่อ $r=\dfrac{k}{f\left(\dfrac{kf(k)}{kf(k)-1}\right)}$
ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง นั่นคือ $f(x)\le\dfrac{1}{x}\quad\forall x\in\mathbb{R}$

เมื่อประยุกต์ใช้อสมการที่เพิ่งได้มากับ $P(x,y)$ จะได้

$\dfrac{f(x+1)}{y}\ge f\left(\dfrac{y}{f(x+1)}\right)=f(y)-f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)\geq f(y)-\dfrac{xf(y)}{x+1}=\dfrac{f(y)}{x+1}$

นั่นคือ $af(a)\geq bf(b)$ เมื่อ $a>1$

ดังนั้นถ้าเราให้ $r,s>1$ จะได้ $rf(r)\geq sf(s)$ และ $sf(s)\geq rf(r)$ นั่นคือ $rf(r)=sf(s)=c$

เพราะฉะนั้น $f(r)=\dfrac{c}{r}\quad\forall r>1$ และจาก $f(x)\le\dfrac{1}{x}$ จะได้ $c\le 1$

การหาค่าของ $c$ สามารถทำได้โดยง่ายโดยใช้ $P(1,2)$ และจะได้ว่า $c=1$

เพราะว่า $x+1>1$ เมื่อ $x\in\mathbb{R}^+$ นั่นคือ $P(x,y)$ กลายเป็น $f(y(x+1))+f\left(\dfrac{x+1}{xf(y)}\right)=f(y)$

ตอนนี้เราเหลือแค่กรณี $x<1$ ซึ่งจะพิสูจน์โดยการอุปนัยว่า $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{n}$

กรณี $n=1$ ได้ทำไปแล้ว

ต่อมาสมมติว่า $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{k}$ จะพิสูจน์ $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{k+1}$

ให้ $a>\dfrac{1}{k+1}$ สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $a\left(\dfrac{a}{1-a}+1\right)>\dfrac{1}{k}$

สมมติ $f(a)\neq\dfrac{1}{a}$ นั่นคือ $f(a)<\dfrac{1}{a}$

และนอกจากนั้น $\dfrac{\dfrac{a}{1-a}+1}{\dfrac{a}{1-a}f(a)}=\dfrac{1}{af(a)}>\dfrac{1}{a\cdot\dfrac{1}{a}}=1$

นั่นคือ $P\left(\dfrac{a}{1-a},a\right)$ ให้ว่า $\dfrac{1}{a\left(\dfrac{a}{1-a}+1\right)}+af(a)=f(a)$

ซึ่งแก้สมการได้ไม่ยากว่า $f(a)=\dfrac{1}{a}$ เกิดข้อขัดแย้ง

โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ $f(x)=\dfrac{1}{x}$ เมื่อ $x>\dfrac{1}{n}\quad\forall n\in\mathbb{N}$

นั่นคือ $f(x)=\dfrac{1}{x}\quad\forall x\in\mathbb{R}$

ปล. fe จะออกยากไปถึงไหนครับเนี่ย