จากการที่ 120 หาร ${n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ ลงตัว
จะพิสูจน์ว่า
1. ${8|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
2. ${3|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
3. ${5|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
กรณีที่ 1
กรณีที่ 1.1 เมื่อ n เป็นเลขคู่
ให้ n = 2a โดยที่ a เป็นจำนวนเต็มบวก
แทนค่า n ด้วย 2a ในสมการ จะได้ว่า
${n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
${= 2a(2a+1)(2a+2)(2a+3)(2a+4)}$
${= 8a(2a+1)(a+1)(2a+3)(a+2)}$
${\therefore 8|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
กรณีที่ 1.2 เมื่อ n เป็นเลขคี่
ให้ n = 2b+1 โดยที่ b เป็นจำนวนเต็มบวก
แทนค่า n ด้วย 2b+1 ในสมการ จะได้ว่า
${n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
${= 2b+1(2b+2)(2b+3)(2b+4)(2b+5)}$
${= 4(2b+1)(b+1)(2b+3)(b+2)(2b+5)}$
เนื่องจาก ${2b+1, 2b+3, 2b+5}$ เป็นเลขคี่ จะได้ว่า
${2|(b+1)(b+2)}$
จะพิสูจน์ว่า
${2|(b+1)(b+2)}$
กรณี 1.2.1 เมื่อ b เป็นเลขคู่
ให้ b = 2c โดยที่ c เป็นจำนวนเต็มบวก
แทนค่า b ด้วย 2c ลงในสมการ จะได้ว่้า
${(b+1)(b+2)}$
${= (2c+1)(2c+2)}$
${= 2(2c+1)(c+1)}$
${\therefore 2|(b+1)(b+2)}$
กรณี 1.2.2 เมื่อ b เป็นเลขคี่
ให้ b = 2d+1 โดยที่ d เป็นจำนวนเต็มบวก
แทนค่า b ด้วย 2d+1 ลงในสมการ จะได้ว่้า
${(b+1)(b+2)}$
${= (2d+2)(2d+3)}$
${= 2(d+1)(2d+3)}$
${\therefore 2|(b+1)(b+2)}$
${\therefore 8|n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$
พอได้ไหมครับ ผมมาถูกทางรึเปล่า
เดี๋ยวผมจะมาต่ออีกสองข้อ กับพิสูจน์ว่า หารจำนวนที่มากกว่า 120 ไม่ได้นะครับ
ผู้รู้ช่วยแนะนำด้วยครับ
--ขอคารวะ--