ข้อ 8. บุคคล วิธีการแบบเดาคร่าว ๆ รวดเร็วก็คือใช้อสมการโคชี (Cauchy Inequality) ครับ
$\Sigma_{i=1}^n(a^2_i) \cdot \Sigma_{i=1}^n(b^2_i) \ge \Sigma_{i=1}^n(a_ib_i)^2$
โดยจะเป็นสมการเมื่อ $a_i/b_i$ มีค่าเท่ากันหมด
โดยอสมการโคชี เราได้ว่า $(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d) \ge (1+1+1+1)^2 $
ดังนั้น $a+b+c+d \ge 16\times \frac{10}{7} = 22\frac{6}{7}$
และจะเป็นสมการเมื่อ $a = b = c = d = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$
แต่เราทราบว่า $a, b, c, d$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $a + b + c + d \ge 23$
โดยถ้ามีผลเฉลยดังกล่าวที่ทำให้ $a+b+c+d = 23$ ค่าของ $a, b, c, d$ ก็ต้องมีค่าเท่า ๆ กันคือราว ๆ 5 ถึง 6 ซึ่งเมื่อลองเกลี่ยดูก็จะได้ผลลัพธ์ที่คุณ narongratp เขียนเอาไว้ครับ.
ข้างบน เอาไว้เดาถ้าไม่มีเวลาคิด 
แต่สำหรับวิธีจริง ผมจะเริ่มให้คร่าว ๆ ดังนี้ครับ
โดยไม่เสียนัยทั่วไปจะสมมติให้ $a \le b \le c \le d$
จึงได้ว่า $1/a \ge 1/b \ge 1/c \ge 1/d $
จากโจทย์ จึงได้ว่า $\frac{7}{10} \ge \frac{4}{d}$ แล้ว $d \ge 5\frac{5}{7}$
เราเลือกให้ $d$ น้อยสุดที่เป็นไปได้คือ ให้ $d = 6$ จากนั้นนำไปแทนค่ากลับไปจะได้
$1/a + 1/b + 1/c = 8/15$
จากนั้นทำคล้าย ๆ กันก็จะกระเทาะค่า $c, b, a$ ที่น้อยสุดออกมาตามลำดับได้ครับ
ปล.วิธีนี้ยังนำไปใช้กับโจทย์ สพฐ.ข้อที่ 25 ของปี 2558 รอบที่ 1 ได้ครับ คือโจทย์แนวเศษส่วนแบบนี้ นำไปใช้ได้หมด เช่น อาจจะตั้งโจทย์ว่า จงหาผลเฉลยที่เป็นจำนวนนับทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $1/a+1/b+1/c = x/y$ ทำนองนี้ครับ.