[tunococ]

โจทย์ของ nongtum ตอบว่า 2 กับ 4 ครับ

ผมคิดโดยแทนค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้น่ะครับ แล้วมันได้แค่ 2 กับ 4

วิธีหาค่าที่เป็นไปได้ 2 เซตของผม เอามา intersect กัน คือ

1. คิดที่ mod 3 จะรู้ว่า k ต้องเป็นเลขคู่

2. หา upperbound ของ k

เนื่องจาก \(1^k < 5^k + 6^k\) อยู่แล้ว ต้องการหาค่า n ที่ทำให้ \(9^n + 10^n < 11^n\) เพื่อจะสรุปว่าฝั่งซ้าย น้อยกว่าฝั่งกว่า เมื่อ \(k \ge n\)

ลองแทนค่าเอาจะเห็นว่า \(n = 5\) เป็นค่า \(n\) ที่น้อยที่สุด ดังนั้น ค่า k มากที่สุดที่เป็นคำตอบได้คือ 4 คำตอบที่เป็นไปได้ก็เลยมีแค่ 2 กับ 4 เท่านั้น โชคดีที่มันใช้ได้ทั้งคู่

ถ้าไม่แทนค่าเอา จะคิดเอาก็ได้ครับ วิธีขี้เกียจหน่อยก็จะให้ค่า n = 8 ซึ่งก็ไม่มากเกินแรงเครื่องคิดเลขจิ้มครับ เพราะตัวที่ต้องทดลองเพิ่มมีตัวเดียวคือ k = 6 (ทดลองที่ mod 6 ก็จะเห็นว่าไม่ได้)

วิธีขี้เกียจของผมก็คือ

\[
\begin{eqnarray}
9^n + 10^n \le 10^n + 10^n = 2 \times 10^n & < & 11^n \\
\log 2 + n \log 10 & < & n \log 11 \\
\frac{\log 2}{\log 11 - 1} & < & n \\
7 & < & n
\end{eqnarray}
\]
ไม่รู้จะถามอะไรต่อดีอะ ...