ทุกๆคำตอบในนี้ล้วนถูกหมดครับ
แต่สาเหตุที่ทำไมแต่ละคำตอบหน้าตาดูไม่เหมือนกัน มาจากค่าคงที่ C ครับ
สังเกตว่า $\displaystyle \frac{1}{2}\sin^2{x}+C =\frac{1}{2}\left( 1-\cos^2{x}\right)+C =-\frac{1}{2}\cos^2{x} +\left(C+\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}\cos^2{x}+D$
และ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin^2{x}+C =\frac{1}{4}\left(1-\cos{2x}\right)+C =-\frac{1}{4}\cos{2x}+\left(C+\frac{1}{4}\right) =-\frac{1}{4}\cos{2x}+E$
ซึ่งเรามอง $D,E$ ว่าเป็นค่าคงที่ใดๆ ดังนั้นจริงๆแล้วทั้ง 3 วิธี ก็ถูกหมด แค่ว่าอยู่กันคนละรูปเฉยๆ
ป.ล. สังเกตว่า $\dfrac{d\left(2x\right)}{dx} =2$ นั่นคือ $\dfrac{1}{2}d\left(2x\right) =dx$
$\displaystyle \int\sin{x}\cos{x}\,dx = \int\frac{1}{2}\sin{2x}\,dx=\int\frac{1}{4}\sin{2x}\,d\left(2x\right) =\frac{1}{4}\int\sin{2x}\,d\left(2x\right) =\frac{1}{4}\left(-\cos{2x}+C\right)$
|