แตกประเด็น เล็กน้อย เกี่ยวกับการหาปริพันธ์รีมันน์
ทฤษฏีบท : Lebesgue's Integrability criterion
ให้ \( f : [a,b] \rightarrow R \) เป็นฟังก์ชันมีขอบเขตบน \( [a,b] \) จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์รีมันน์ได้ ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเกือบทุกแห่งบน [a,b]
ฟังก์ชันต่อไปนี้ที่มีสมบัติดังกล่าว ใช่ไหมครับ?
1. ฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วงๆ และมีขอบเขต ที่มีจุดไม่ต่อเนื่องเป็นจำนวนจำกัด ??
2. ฟังก์ชันอย่างง่าย simple function ??
3. ฟังก์ชันดีริคเลต \[ f(x) = \biggl\{ \begin{array}{rcl} 1 & ; & x \in Q \cap [0,1] \\ 0 & ; & x \in Q \prime \cap [0,1] \end{array} \]
ซึ่งในข้อ 3. ผมสงสัยว่า ในตัวอย่างบอกว่าหาปริพันธ์รีมันน์ไม่ได้เพราะไม่ต่อเนื่องที่ทุกจุด ?? แต่จาก criterion ข้างบนจะกล่าวได้ว่าหาปริพันธ์รีมันน์ได้ ?? เอ๊ะ งง
หรือว่าในตอนที่บอกว่าฟังก์ชันหาปริพันธ์รีมันน์ไม่ได้นั้น ยังไม่ถือว่ามีปริพันธ์เลอเบกเลยหาไม่ได้ แต่ตอนหลังพบว่าหาได้
ถ้าเราใช้ทฤษฏีบทนี้ ก็จะได้ว่า มีฟังก์ชัน \( g(x) = 0 \; ; \; x \in [0,1] \)
ซึ่ง f = g เกือบทุกแห่งบน [0,1] จะได้ว่า \[ \int_{[0,1]} f \; d\mu = \int_0^1 g dx = 0 \] ได้คำตอบเดียวกันกับใช้นิยาม แบบนี้ถูกไหมครับ
และทำนองเดียวกัน ก็จะได้ว่า
\[ f(x) = \biggl\{ \begin{array}{rcl} \cos x & ; & x \in Q \cap [0,1] \\ \sin x & ; & x \in Q \prime \cap [0,1] \end{array} \]
มีฟังก์ชัน \( g(x) = \sin x \; ; \; x \in [0,1] \)
ซึ่ง f = g เกือบทุกแห่งบน [0,1] จะได้ว่า \[ \int_{[0,1]} f \; d\mu = \int_0^1 \sin x dx \] ซึ่งง่ายกว่าใช้นิยาม เพราะนิยามคำนวณยาก
แต่ทฤษฏีบทนี้บอกว่าถ้าฟังก์ชันสอดคล้องเงื่อนไขสามารถหาปริพันธ์รีมันน์ได้ และ จะเท่ากับปริพันธ์เลอเบก แต่ไม่ได้บอกว่าถ้าฟังก์ชันไม่สอดคล้องกับเงื่อนไข จะไม่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ ?? แสดงว่าถ้าฟังก์ชันไม่สอดคล้องเงื่อนไขนี้ อาจจะหาปริพันธ์เลอเบกได้แต่ ต้องใช้วิธีอื่น ใช่ไหมครับ หรือว่า ถ้าไม่สอดคล้องก้ไม่สามารถหาปริพันธ์เลอเบอได้ ??
สรุป การหาปริพันธ์เลอเบก (เท่าที่ผมเข้าใจเอาเอง)
1.ถ้า f เป็นฟังก์ชันอย่างง่าย ก็ใช้นิยามตามปกติ จะง่ายที่สุด
2.ถ้า f สอดคล้องกับ criterion ด้านบนก็หาด้วยปริพันธ์รีมันน์ได้
3.ใช้ทฤษฏีบทการลู่เข้าทางเดียว หรือ การลู่เข้าแบบถูกครอบงำ
แต่ในที่นี้ทุกฟังก์ชันสามารถหาได้โดยใช้นิยามได้ ??
ปล. 1. คำถามเยอะซักนิดนะครับ อ่านไปแล้ว งงมากๆ สับสนกับของเก่า
2. ขออภัยท่านอื่นๆ ด้วยนะครับแหะๆ กำลังศึกษาเรื่องนี้ แต่ไม่มีที่พึ่ง เลยต้องอาศัยผู้รู้ในบอร์ดนี้ อิอิ
3. ขอบพระคุณพี่ noonuii มากๆที่มาตอบให้