มีอีกวิธีนึงที่น่าจะเป็นไปได้คือใช้ jensen ผมขอตั้งต้นไว้ก่อนแล้วรบกวนช่วยพิสูจน์ต่อด้วยก็แล้วกันครับ
ให้ $f(x)=\sqrt{x}$ จากการ diff จะได้ว่า $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ และ $f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}$ ดังนั้น $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มและเป็นฟังก์ชันเว้าทุกค่า $x > 0$
เนื่องจากอสมการเป็นเอกพันธุ์ จึงสมมุติให้ $a+b+c=1$
โดยการใช้อสมการ jensen จะได้ว่า
$$\sum_{cyc} a\sqrt{b^2-bc+c^2} \le \sqrt{ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a-3abc} $$
ทำให้อสมการที่ต้องการพิสูจน์กลายเป็น
$$\sqrt{ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ca^2+c^2a-3abc}\le a^2+b^2+c^2$$
เมื่อ $a+b+c=1$
รบกวนพิสูจน์ต่อด้วยครับ
|