[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ <KAB555>

ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มี AC และ BD เป็นเส้นทแยงมุม
ถ้า $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$ แล้วจงพิสูจน์ว่า ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่วงกลมล้อมรอบได้

สมมติว่าไม่มีวงกลมล้อม

ให้ $\overline{AE} $ เป็นเส้นสะท้อนของ $\overline{AD} $ ที่มีเส้นแบ่งครึ่งมุม $B\hat AC$ เป้นเส้นสะท้อน

ให้ $x$ เป็นจุดบน $\overline{AE} $ ที่ทำให้ $A\hat XB = A\hat CD$ จะได้ว่า $\triangle AXB\sim \triangle ACD$ ดังนั้น $\dfrac{AX}{AC} =\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BX}{CD} $ จะได้ว่า $\triangle AXC\sim \triangle ABD$

$\begin{array}{ll}
AC\cdot BD &= XC\cdot AD \\

&<(XB+BC)\cdot AD \qquad \because ABCD ไม่มีวงล้อม \\

&=XB\cdot AD+BC\cdot AD \\

&=AB\cdot CD+BC\cdot AD

\end{array}$