[จูกัดเหลียง]

พอดีว่าผมเพิ่งเริ่มเรียน Ad cal น่ะครับเลยอยากสอบถามว่าทำเเบบนี้ได้มั้ยน่ะครับ

Proof that If $\displaystyle \lim_{P\rightarrow A} f(P)=L$ and $\displaystyle \lim_{p\rightarrow A} g(P)=M$ then $\displaystyle \lim_{P\rightarrow A} f(P)g(P)=L\cdot M$

จาก $\displaystyle \lim_{P\rightarrow A} f(P)=L$ เเละ $\displaystyle \lim_{p\rightarrow A} g(P)=M$ ได้ว่า $\displaystyle \forall \epsilon>0 $ จะมี $\delta_1,\delta_2 >0$ ที่ซึ่ง $0<||P-A||<\delta_1,\delta_2$ ที่ทำให้เกิด $|f(P)-L|<\dfrac{-(|L|+|M|)+\sqrt{(|L|+|M|)^2+4\epsilon}}{2}$
เเละ $|g(P)-M|<\dfrac{-(|L|+|M|)+\sqrt{(|L|+|M|)^2+4\epsilon}}{2}$ ตามลำดับ

NOTE
$\displaystyle\epsilon_0=\dfrac{-(|L|+|M|)+\sqrt{(|L|+|M|)^2+4\epsilon}}{2}$

พิจารณา
$\displaystyle |f(P)g(P)-L\cdot M|=|(f(P)-L)(g(P)-M)+L(g(P)-M)+M(f(P)-L)|$
$\displaystyle \le |f(P)-L||g(P)-M|+|L||g(P)-M|+|M||f(P)-L|\le \epsilon_0^2+(|L|+|M|)\epsilon_0=\epsilon$