[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ช่วยหน่อยครับ ผมไม่ค่อยรู้หลักคอมบินาทอริกเท่าไหร่ ช่วยผมหน่อยนะครับ
ขอให้แสดงวิธีทำอย่างละเอียดหน่อยนะครับ
1. มีหีบ 5 ใบ เรียงกันจะมีวิธีเอาบอล 3 ลูกใส่ในหีบ ทีละลูกๆ ทั้งหมดกี่วิธี(ตอบ 125)

คำถามแบบนี้ จัดว่าเป็นคำถามที่ไม่ชัดเจนครับ คำตอบมีได้หลายแบบ

การแจกของลงกล่อง เราจะแบ่งเป็น 4 ประเภท
1. ของต่าง, กล่องต่าง
2. ของเหมือน, กล่องต่าง
3. ของต่าง, กล่องเหมือน
4. ของเหมือน, กล่องเหมือน

ในที่นี้ ถ้าหีบแต่ละใบถือว่าต่างกัน, ลูกบอลแต่ละใบถือว่าต่างกัน

จำนวนวิธีจะเท่ากับ (5)(5)(5) = 125 วิธี

หรือเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ $x^3/3!$ จาก exponential generating function $(1+x/1!+x^2/2!+...)^5 = e^{5x} = \sum_{r = 0}^{\infty}\frac{(5x)^r}{r!}$

แต่ถ้าหีบแต่ละใบถือว่าต่างกัน, ลูกบอลแต่ละใบถือว่าเหมือนกัน

จำนวนวิธีจะเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ a+b+c+d+e=3 โดยที่ a, b, c, d, e เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

หรือเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ จาก ordinary generating function
$(1+x+x^2+...)^5 = (1-x)^{-5} = \sum_{r = 0}^{\infty}\binom{5+r-1}{r}x^r = \sum_{r = 0}^{\infty}x^r\binom{r+4}{4} $

ซึ่งเท่ากับ $\binom{7}{4} = 35 $ วิธี เป็นต้นครับ.