ขอสารภาพว่า
1. เบลอนิดหน่อยตอนคิดข้อ 29 ทั้งที่ก้ไม่ได้ยากอะไรเลย ขอบคุณคุณ Passer-by อีกครั้งสำหรับคำท้วงติงครับ(แก้แล้วจ้า)
2. ไม่น่าปล่อยข้อ 10 มาเลย เพราะยาวและยากเกินเหตุ ที่จะแสดงให้ดูต่อไปนี้เป็น
แนวคิดคร่าวๆเท่านั้น
หากสนใจต้นฉบับ กรุณาไปหาอ่านได้จากหนังสือ Inequalities ของ P.P.Korovkin ของ Mir Publishers ครับ
ข้อสิบ (ย้ำอีกทีว่าเป็นแนวคิดคร่าวๆ)
โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า
\[
\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^\alpha}
=\frac{2^\alpha}{2-2^\alpha}\sum_{i=1}^n \frac{1}{(n+i)^\alpha}
-\frac{2^\alpha}{2-2^\alpha}\sum_{j=1}^{2n} \frac{(-1)^{j-1}}{(j)^\alpha}
\] จะได้ว่าผลรวม S ที่ต้องการคือ
\[
\underbrace{\frac{2^{1/4}}{2-2^{1/4}}\sum_{i=1}^{10^{12}} \frac{1}{(10^{12}+i)^{1/4}}}_{=:A}
-\underbrace{\frac{2^{1/4}}{2-2^{1/4}}\sum_{j=1}^{2\cdot10^{12}} \frac{(-1)^{j-1}}{(j)^{1/4}}}_{=:B}
\]
เราจะใช้อสมการ
\[
\frac{(2n+1)^{1-\alpha}-(n+1)^{1-\alpha}}{1-\alpha}
< \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(n+i)^\alpha}
< \frac{(2n)^{1-\alpha}-n^{1-\alpha}}{1-\alpha}
\]
เมื่อ \(0<\alpha<1\) ประมาณค่าของผลรวม A ดังนี้
\[
\frac{2^{1/4}}{2-2^{1/4}}
\cdot\frac{(2\cdot10^{12})^{3/4}-(10^{12})^{3/4}}{1-\frac{1}{4}}
=\frac{4}{3}\cdot10^9
\]
และใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ประมาณค่า B: ให้ \(x_1>x_2>\ldots>x_n\) จะได้ว่า
\[0<\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}x_i<x_1\]
จากทฤษฎีบทนี้เราจะได้ว่า B เป็นบวกและไม่มากกว่า A และเนื่องจากเทอมน้อยกว่าสอง จะได้อีกว่า
\[\frac{4}{3}\cdot10^9-2<S<\frac{4}{3}\cdot10^9\]
ทางซ้ายและขวาสุดของอสมการนี้ต่างกันอยู่ 2 และต่างจากผลรวมที่เราต้องการน้อยกว่า 2 ค่ากลาง \(\frac{4}{3}\cdot10^9-1\) ต่างจากผลรวมที่ต้องการไม่เกิน 1
นั่นคือ ผลรวมที่ต้องการมีค่าเป็น
\[\frac{4}{3}\cdot10^9-1\pm{}d=133333332.3\pm{}d,\qquad |d|<1 \]
ทั้งนี้ เราสังเกตว่าผลรวมที่ได้ค่อนข้างแม่นยำ เพราะ relative error < 10
-7
phew... น้องคนไหนสอบเสร็จแล้ว อย่าลืมเอาข้อสอบมาปล่อยที่นี่ด้วยนะครับ
