[Thgx0312555]

มีข้อน่าเฉลยหลายข้อจริงๆ ดูข้อนี้ก่อนครับ

35. $\displaystyle \sum_{n \in A} \sin ^2 \left( \dfrac{n \pi}{3003}\right) $
$\displaystyle = \sum_{n \in A} \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \sum_{n \in A} \cos \left( \dfrac{2n \pi}{3003}\right)$

$\displaystyle = \dfrac{1}{2} \cdot (3003)\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\dfrac{6}{7}\right)\left(\dfrac{10}{11}\right)\left(\dfrac{12}{13}\right) - \dfrac{1}{2} \sum_{n \in A} \cos \left( \dfrac{2n \pi}{3003}\right)$

$\displaystyle = 720 - \dfrac{1}{2} \sum_{n \in A} \cos \left( \dfrac{2n \pi}{3003}\right)$

โดย PIE

$\displaystyle \sum_{n \in A} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003}\right) = \sum_{1 \le n \le 3003} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003}\right) - \sum_{p \in \left\{ 3,7,11,13 \right\}} \sum_{1 \le n \le 3003, p \mid n} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003}\right) + \sum_{p_1 < p_2 \in \left\{3,7,11,13 \right\}} \sum_{1 \le n \le 3003, p_1p_2 \mid n} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003}\right)$

$\displaystyle - \sum_{p_1 < p_2 < p_3 \in \left\{3,7,11,13 \right\}} \sum_{1 \le n \le 3003, p_1p_2p_3 \mid n} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003}\right) + \sum_{1 \le n \le 3003, 3003 \mid n} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003}\right)$

$\displaystyle = \sum_{1 \le n \le 3003} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003}\right) - \sum_{p \in \left\{ 3,7,11,13 \right\}} \sum_{1 \le n \le 3003/p} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003/p}\right) + \sum_{p_1 < p_2 \in \left\{3,7,11,13 \right\}} \sum_{1 \le n \le 3003/p_1p_2} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003/p_1p_2}\right)$

$\displaystyle - \sum_{p_1 < p_2 < p_3 \in \left\{3,7,11,13 \right\}} \sum_{1 \le n \le 3003/p_1p_2p_3} \cos \left( \frac{2n \pi}{3003/p_1p_2p_3}\right) + \cos 2n \pi$

$= 0-0+0-0+1 = 1$

จากข้อสังเกตต่อไปนี้ เมื่อ $k>1$, ผลบวกรากของ $x^k-1=0$ คือ $0$

$\displaystyle \sum_{1 \le n \le k} \mathrm{cis} \left( \dfrac{2n\pi}{k} \right) = 0$

จะได้ $\displaystyle \sum_{1 \le n \le k} \cos \left( \dfrac{2n\pi}{k} \right) = 0$

$\displaystyle \sum_{n \in A} \sin ^2 \left( \dfrac{n \pi}{3003}\right) =719.5$

พิมพ์ยากมาก ><