อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper
ขอลงโจทย์ต่อเลยนะครับ
โจทย์ปัญหา 1.5
1. จงใช้สมบัติความสมมาตรแก้โจทย์ปัญหาในข้อต่อไปนี้
1.1 จงพิสูจน์ว่าจำนวนตัวหารของจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
1.2 จงคำนวณระยะทางสั้นที่สุดในระนาบ จากจุดพิกัด $(3,5)$ ไปยังจุดพิกัด $(8,2)$ โดยที่เส้นทางนั้นจะต้องผ่าน หรือสัมผัสแกน $x$ และแกน $y$
|
1.1
ให้ $n = p_1^{i_1}p_2^{i_2}...p_k^{i_k}$ นั่นคือกระจาย n โดนทฤษฎีหลักมูลเลขคณิต
ให้ $j \in \mathbb{N} , j \le k$
($\Rightarrow $)
สมมติ $2\nmid \tau (n)$
that is
$2\nmid (i_1+1)(i_2+1)...(i_k+1)$
$2\nmid (i_1+1) \wedge 2\nmid (i_2+1) \wedge ... \wedge 2\nmid (i_k+1)$
$2|i_1 \wedge 2|i_2 \wedge ... \wedge 2|i_k$
that is for all $i_j$
there will be $m_j$ that
$i_j = 2m_j$
$n = p_1^{2m_1}p_2^{2m_2}...p_k^{2m_k} = (p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_k^{m_k})^2$
n เป็นกำลังสองสมบูรณ์
($\Leftarrow $)
สมมติ n เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ให้ $n = (p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_k^{m_k})^2 = p_1^{2m_1}p_2^{2m_2}...p_k^{2m_k} $
that is
$2\nmid (2m_1+1)(2m_2+1)...(2m_k+1)$
$2\nmid \tau (n)$
จากทั้งสองกรณี จึงได้ จำนวนตัวหารของจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
1.2
สะท้อน (8,2) ข้ามแกน x, y ได้จุด (-8,-2)
สะท้อนเส้นจาก (3,5) ไป (8,2) พบว่าเส้นใหม่มีความยาวเท่า้เส้นเดิม
เส้นใหม่จะสั้นที่สุด ก็ต่อเมื่อ เส้นใหม่เป็นเส้นตรง
Pythagoras;; ระยะทางที่สั้นที่สุดเท่ากับ $\sqrt{11^2+7^2} = \sqrt{170}$