ก่อนจะตอบคำถามข้างบน ลองศึกษาจากรูปนี้ดูนะครับ จากรูปที่ 1, 2, 3 วิธีการเดินตามเส้นสีน้ำเงิน ซึ่งยอมให้เดินในทิศเหนือ ใต้ และตะวันออกเท่านั้น
รูปที่ 1 แทนได้ด้วย (3, 3, 4, 4)
รูปที่ 2 แทนได้ด้วย (1, 4, 2, 3)
รูปที่ 3 แทนได้ด้วย (3, 1, 4, 2)
แล้วถ้าลองเขียนสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ โดยที่ $1 \le a, b, c, d \le 4$ มั่ว ๆ เช่น (1,1,1,1) หรือ (1,2,3,4) จะแทนได้ด้วยการเดินแบบใด? นั่นก็คือจะมีวิธีการเดินจากจุดมุมซ้ายล่างไปบนขวาสุด ได้กี่วิธี?
จะเห็นว่า วิธีการเดินทางแต่ละแบบจะเขียนแทนได้ด้วย การเขียนสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ แต่ละแบบซึ่งแตกต่างกันเสมอ ในทางคณิตศาสตร์เรากล่าวว่าจะมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จากเส้นทางไปยังสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ ซึ่งแทนที่เราจะนับ วิธีการเดินแต่ละแบบโดยตรง เราก็นับสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ แทน และโดยกฎการคูณ จะมีสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ ในที่นี้ได้ทั้งหมด $4 \times 4\times 4\times 4 = 4^4$ วิธี
ถ้าเข้าใจแล้วก็ลองขยายแนวคิด ไปยังรูปขนาด $m\times n$ ใด ๆ ดูครับ จะได้ว่าคำตอบคือ ...