$n^4+5n^2+9$ หารด้วย $5$ ลงตัว แสดงว่ามีจำนวนเต็ม $m$ ที่ทำให้ สมการ $n^4+5n^2+9 = 5m$ เป็นจริง
$n^4+5n^2+9 = 5m$
$n^4+5n^2 = 5m-9$
$n^2(n^2+5) = 5(m-2)+1$
นั้นคือหาว่ามี $n$ ไหนบ้างที่ทำให้ $n^2(n^2+5)$ หารด้วย $5$ แล้วได้เศษ $1$ กำหนด $ mod $ คือตัวดำเนินการหารเอาเศษนะครับ
$(n^2(n^2+5)) mod 5 $
$= ((n^2 mod 5)((n^2 mod 5) + (5 mod 5))) mod 5 $
$= ((n^2 mod 5)(n^2 mod 5)) mod 5 $
$= ((n^2 mod 5)^2) mod 5 $
$= ((((n)mod 5)^2)^2) mod 5 $
$= (((n)mod 5)^4) mod 5 $
จะแปลงปัญหานี้ไปเป็นว่า หาว่ามี $n$ กี่ตัว (ในช่วงที่ต้องการ) ที่ทำให้ $(((n)mod 5)^4) mod 5 $ ได้เศษ 1
ซึ่งอาจมองได้ว่า ถ้าแปลง n เป็นเลขฐาน 5 มีอะไรบ้างที่ยกกำลัง 4 แล้วลงท้ายด้วยเลข 1
แล้วเนื่องจากเลขที่ลงท้ายด้วย 1 ยกกำลังอะไรก็ยังลงท้ายด้วย 1 และเลขฐาน 10 ถ้าจะแปลงเป็นฐาน 5 โดยต้องการทราบแค่เฉพาะเลขท้าย ก็แค่ mod 5
$0^4=0$
$1^4=1$
$2^4=16=15+1$
$3^4=81=80+1$
$4^4=256=255+1$
นั้นคือ ถ้า n เป็นเลขฐานสิบที่มีเลขท้ายทุกตัวเลขยกเว้นเป็นเลข 0 หรือ 5 จะทำให้ $(((n)mod 5)^4) mod 5 $ ได้เศษ 1
|