[Sirius]

จาก $2^{2^n}\equiv -1 (mod\ p)$
จะได้ $2^{2^{n+1}}\equiv 1 (mod\ p)$
ให้ m เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2^m\equiv 1 (mod\ p)$
จะได้ $m\mid 2^{n+1}$
$\therefore m$ อยู่ในรูป $2^m$
ถ้า $1\leqslant m\leqslant n$ จะได้ $2^{2^n}\equiv 1 (mod\ p)$ ขัดแย้ง
ดังนั้น $m=2^{n+1}$
แต่จาก Fermat's Little Theorem จะได้ $2^{p-1}\equiv 1 (mod\ p)$
$\therefore 2^{n+1}\mid p-1$
(ถ้า $2^{n+1}\nmid p-1$ จะได้ว่า $p-1=q\cdot 2^{n+1}+r$ สำหรับบาง $r$ แต่จะได้ $2^{2^r}\equiv 1 (mod\ p)$ ขัดแย้ง)
ดังนั้น $p=k\cdot 2^{n+1}+1$