3. กำหนดให้
$S =$ { $(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 17$ }
$A =$ { $(x,y) | x^{2} - y^{2} = 1$ }
$B =$ { $(x,y) | y^{2} - x^{2} = 1$ }
ถ้า $p = S\cap A$ และ $q = S\cap B$ แล้วระยะห่างระหว่าง $p$ กับ $q$ ที่น้อยที่สุดคือเท่าไร
...
ช่วยตรวจสอบวิธีผมด้วยนะครับ...ผมให้
$(x_1,y_1)$ เป็นจุดใน A
$(x_2,y_2)$ เป็นจุดใน B
ที่ทำให้ ระยะห่าง p q มีค่าน้อยที่สุด
เราได้ว่า ระยะห่างมีค่าเท่ากับ $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
แล้วจากเงื่อนไขเราได้ว่า
$y_1=\sqrt{x_1^2-1}$
$y_2=\sqrt{x_2^2+1}$
นั้นคือระยะห่างของเรามีค่าคือ $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(-\sqrt{x_1^2-1}+\sqrt{x_2^2+1})^2}$
จาก$ \sqrt{a^2+b^2}\geq \sqrt{\frac{(a+b)^2}{2}}$
เราได้ว่า
***ระยะห่าง$=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(-\sqrt{x_1^2-1}+\sqrt{x_2^2+1})^2}\geq \sqrt{\frac{(x_1-x+2+\sqrt{x_2^2+1}-\sqrt{x_1^2-1})^2}{2}}=\sqrt{\frac{x_1-\sqrt{x_1^2-1}+\sqrt{x_2^2+1}-x_2}{2}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{x_1+\sqrt{x_1^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2^2+1}+x_2}}{2}}$
จาก $x^2+y^2\leq 17$
เราได้ว่า
$x_1\leq 3$
$x_2\leq 2\sqrt{2}$
แล้วดูก้อน
$\frac{1}{x_1+\sqrt{x_1^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2^2+1}+x_2}$
ส่วนตัวคิดว่าทุกคนคงรู้แล้วว่าจะทำอะไรต่อไปให้ได้ min
จบ ตอบ $3\sqrt{2}-4$
