[Thgx0312555]

เฉลยบ้าง 32. Let $a= r\cos \theta, b = r\sin \theta$ $(r= \sqrt{a^2+b^2})$

$M=\bmatrix{r\cos \theta & r\sin \theta \\ -r\sin \theta & r\cos \theta} $
by induction
$M^k=\bmatrix{r^k\cos k\theta & r^k\sin k\theta \\ -r^k\sin k\theta & r^k\cos k\theta} $

$M^9+M^7+M^3+M^5+M=0$

$\Leftrightarrow r^9\cos 9\theta+r^7\cos 7\theta+r^5\cos 5\theta+r^3\cos 3\theta+r\cos\theta=0 \wedge r^9\sin 9\theta+r^7\sin 7\theta+r^5\sin 5\theta+r^3\sin 3\theta+r\sin\theta=0$

$\Leftrightarrow r^9 \mathrm{cis} 9\theta+r^7 \mathrm{cis} 7\theta+r^5 \mathrm{cis} 5\theta+r^3 \mathrm{cis} 3\theta+r \mathrm{cis}\theta=0$

$\Leftrightarrow z^9+z^7+z^5+z^3+z=0$ where $z=r\mathrm{cis}\theta$

มี $z$ 9 คำตอบที่เป็นไปได้

ดังนั้นมีคู่อันดับ $(a,b)$ 9 คู่ และมี $A$ 9 matrices