[Thgx0312555]

4. $\dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)^2 \ge ab\cdot bc + bc \cdot ca + ca \cdot ab = abc(a+b+c) \ge abc(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) = ab+bc+ca$

$\therefore ab+bc+ca \ge 3$

$abc(a+b+c) \ge ab+bc+ca \ge 3$

$a+b+c \ge \dfrac{3}{abc}$

$\dfrac{2}{3}(a+b+c) \ge \dfrac{2}{abc}$

$(a+b+c)^2 \ge (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \ge 9$

$\dfrac{1}{3}(a+b+c) \ge \dfrac{3}{a+b+c}$

$\therefore a+b+c \ge \dfrac{3}{a+b+c}+\dfrac{2}{abc}$

(อสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $a=b=c=1$)