[Pitchayut]

ง่ายกว่านี้ก็มีครับ พิจารณา

$\displaystyle{\sum_{cyc}\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=(a-b)+(b-c)+(c-a)=0}$

นั่นคือเราสามารถทำให้สมมาตรได้เป็น

$\displaystyle{\sum_{cyc}\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{2}\sum_{cyc}\dfrac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}}$

ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับโดยสังเกตว่า $a^2+ab+b^2\le 3(a^2-ab+b^2)$ สมมูลกับ $2(a-b)^2\ge 0$ ครับ

ปล.สงสัยข้อ 4 ครับว่าโจทย์ผิดหรือเปล่า แทน $n=2, a_1=a_2=3$ ก็ไม่จริงแล้วครับ