ตอนที่ 2 ข้อ 7
จากอสมการ AM GM
$$\frac{x+y}{2} \geqslant \sqrt{xy} $$
$$500 \geqslant \sqrt{xy} $$
$$250,000\geqslant xy=[x,y](x,y)$$
กรณีที่ $xy=250,000$ มีเพียงกรณีเดียวคือ $x=500 y=500 $
ซึ่ง $gcd(x,y)=500$ จึงไม่ใช่กรณีที่$ [x,y] $มากที่สุด
กรณีถัดไปที่ทำให้ค่า $xy$ ใกล้ $250,000$ ที่สุดคือ $x=499 y=501$
เห็นได้ชัดว่า $(x,y)=1$ ดังนั้น $[x,y]_{max}=(499)(501)=249,999$
|