[nooonuii]

สมมติว่า $x\geq 0$ ถ้า $x<0$ ลองไปฝึกทำดูครับ

ให้ $S=\{n\in \mathbb{N} : x < n\}$

โดย Archimedean Property จะมีจำนวนนับ $n>x$

ดังนั้น $S\neq\emptyset$

โดย Well-ordering Principle $S$ จะมีสมาชิกน้อยสุด สมมติว่าเป็น $d$

เนื่องจาก $d-1\not\in S$ เราจะได้ว่า

$d-1\leq x < d$

ดังนั้น $0\leq x- (d-1) < 1$

ให้ $c=d-1$ และ $e=x-c$ จะได้ $x=c+e$ ตามต้องการ

หมายเหตุุ เนื่องจาก $d$ เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มากกว่า $x$ เราจะได้ว่า $c=d-1$ จะเป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ $x$