ได้ว่า $(a-1)(b-1)(c-1)=2(a+b+c-1)$
ให้ $a-1=x,b-1=y,c-1=z$
$\therefore xyz=2(x+y+z+2)$
พบว่า $x,y,z\not =0$
$x,y,z\in\mathbb{N}$
เนื่องจากตัวแปรมีความสมมาตร ดังนั้น โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $x\geq y\geq z$
$\therefore 6x+4\geq 2(x+y+z+2)=xyz$
$4\geq x(yz-6)$
แต่จาก $x\geq 1$
$\therefore 4\geq yz-6\rightarrow yz\leq 10$
แยกกรณีไปเรื่อยๆ ได้ว่า
$(x,y,z)=(12,3,1),(7,4,1),(6,2,2)$
$\therefore (a,b,c)=(13,4,2),(8,5,2),(7,3,3)$ และสามารถสลับระหว่าง $a,b,c$ ด้วยกันได้
|