ก.
$$\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{a^n+b^n}{(a+b)^n}\bigg)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{a}{a+b}\bigg)^n+\sum_{n=1}^{\infty}\bigg (\frac{b}{a+b}\bigg)^n$$ $$=\frac{\frac{a}{a+b}}{1-\frac{a}{a+b}}+\frac{\frac{b}{a+b}}{1-\frac{b}{a+b}}$$ $$=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$$
ข้อ ก. ถูก
ข.
$$\frac{s_n}{s_m}=\frac{n(a_1+a_n)}{m(a_1+a_m)}=\frac{n^2}{m^2}$$ $$m(a_1+a_n)=n(a_1+a_m)$$ $$m(2a_1+(n-1)d)=n(2a_1+(m-1)d)$$ $$2(m-n)a_1=(m-n)d$$
$\therefore 2a_1=d$
$$\frac{a_m}{a_n}=\frac{a_1+(m-1)d}{a_1+(n-1)d}=\frac{2ma_1-a_1}{2na_1-a_1}=\frac{2m-1}{2n-1}$$
ข้อ ข. ถูก
ตอบข้อ 1.
(แก้ไขวิธีทำให้ถูกต้องแล้ว ขอบคุณท่าน หยินหยางมากครับ
)