ไม่แน่ใจว่าตกหล่นอะไรไปรึเปล่านะครับ ไม่ค่อยคล่องเรื่องนี้ แนะนำได้เลยครับ
แทนค่า $x=y=0$ ได้ $f(f(0))+f(0)=f(0)$
ดังนั้น $f(f(0))=0$
แทนค่า $x=0$ ได้ $f(f(0))+f(y)=yf(0)+f(y)$
$yf(0)=0$
ดังนั้น $f(0)=0$
แทนค่า $y=0$ ได้ $f(f(-x))+f(x)=f(0)=0$
ดังนั้น $f(f(-x))=-f(x) ------------------ (1)$
จาก $(1)$ ได้ว่า $f(f(xy-x))=-f(x-xy)$
ดังนั้นจากโจทย์ จะได้ $-f(x-xy)+f(x+y)=yf(x)+f(y) ------------------ (2)$
แทน $x=-1$ ใน $(2)$ ได้ $-f(y-1)+f(y-1)=yf(-1)+f(y)$
ดังนั้น $f(y)=y(-f(-1))$
ให้ $-f(-1)=k$ จะได้ $f(y)=ky$
แทนค่าในโจทย์ได้ $f(f(xy-x))=f(k(xy-x))=k^2(xy-x)$
$k^2(xy-x)+k(x+y)=y(kx)+ky$
ดังนั้น $k=0$ หรือ $k(xy-x)+x+y=xy+y => k=1$
ดังนั้น function ที่ต้องการคือ $f(x)=0$ หรือ $f(x)=x$
|