สรุปคือคุณ t.B. บอกว่าการเขียน $\forall x \in A \left[ x \in B \right]$ และ $\exists x \in A \left[ x \in B \right]$ นั้น สามารถตีความได้ 2 แบบที่ไม่ขัดแย้งกันเลยคือ
- แบบที่ 1
\[\begin{array}{rcl}
\forall x \in A \left[ x \in B \right] & \equiv & \forall x \left[ x \in A \rightarrow x \in B \right] \\
\exists x \in A \left[ x \in B \right] & \equiv & \exists x \left[ x \in A \wedge x \in B \right]
\end{array}\]
- แบบที่ 2
\[\begin{array}{rcl}
\forall x \in A \left[ x \in B \right] & \equiv & \forall x \left[ x \in A \wedge x \in B \right] \\
\exists x \in A \left[ x \in B \right] & \equiv & \exists x \left[ x \in A \rightarrow x \in B \right]
\end{array}\]
โดยไม่ขัดแย้งในที่นี้หมายความว่า การตีความนั้นต้องทำให้ได้สมบัติ 2 ข้อนี้เป็นจริง
\[\begin{array}{rcl}
\sim \left( \forall x \in A \left[ x \in B \right] \right) & \equiv & \exists x \in A \left[ x \not\in B \right] \\
และ \sim \left( \exists x \in A \left[ x \in B \right] \right) & \equiv & \forall x \in A \left[ x \not\in B \right]
\end{array}\]
ส่วนจะตีความออกมาถูกใจเราหรือเปล่านั่นเป็นอีกเรื่องหนึ่ง
เข้าใจว่าโดยทั่วไปแล้วเราเลือกที่จะตีความแบบที่ 1 เพราะเราจะนำมาใช้เกี่ยวกับพวกทฤษฎีบทต่างๆ ที่มักเขียนเป็น $\forall x \left[ P(x) \rightarrow Q(x) \right]$ หรือ $\exists x \left[ P(x) \wedge Q(x) \right]$
ตัวอย่างของการเขียนประพจน์แบบที่ 2 แล้วเกิดปัญหา ก็คือประพจน์อันหนึ่งที่เพิ่งจะถกกันไปไม่นาน $\exists x \left[ (x^2 < 4) \rightarrow (x < -2) \right]$
อ่านผ่านๆเหมือนประพจน์นี้จะเป็นเท็จใช่ไหมครับ "มี $x$ อยู่ตัวหนึ่ง ซึ่งถ้า $x^2 < 4$ แล้วจะได้ว่า $x < -2$"
เรามองหา $x$ ทุกตัวซึ่งทำให้ $x^2 < 4$ จริงแล้วทำให้ $x < -2$ ด้วยไม่พบเลยสักค่าเดียว ก็ควรจะสรุปว่าประพจน์นี้เป็นเท็จใช่ไหม
แต่เนื่องจาก $\left[ P(x) \rightarrow Q(x) \right]$ ถ้าเริ่มจากเท็จ ($F$) แล้วสรุปว่าจริง ($T$) ได้ทันที
ดังนั้นยกตัวอย่าง $x = 3$ ก็พิสูจน์ได้แล้วว่าประพจน์นี้เป็นจริง
มองแล้วขัดกับสามัญสำนึก แต่ถ้าต้องการให้ได้ผลลัพธ์ตามสามัญสำนึก ต้องเขียนประพจน์นี้เป็น $\exists x \left[ (x^2 < 4) \wedge (x < -2) \right]$
ส่วนตัวแล้วผมเห็นว่า พึงหลีกเลี่ยงการเขียนแบบนี้ เพราะ การเขียนเพียงแค่ $\forall x \left[ P(x) \right]$ หรือ $\exists x \left[ P(x) \right]$ นั้นเข้าใจตรงกัน
แต่ทำไมเพียงแค่เพิ่มเงื่อนไขเข้าไปนิดหน่อยเป็น $\forall x \in A \left[ P(x) \right]$ หรือ $\exists x \in A \left[ P(x) \right]$ กลับทำให้ข้างใน $\left[ \cdots \right]$ กลายเป็นคนละรูปแบบไปเลย ไม่ว่าจะเลือกรูปแบบไหนก็ตาม
