[passer-by]

ปีนี้ผมเห็นว่า ไม่ยากมาก แต่ภาพรวมมันทดเลขไม่ค่อยลื่นเท่าไหร่ครับ

ผมคิดว่า ถึงเป็นตัวแทน IMO ก็คงไม่ชอบสไตล์นี้
----------------------------------------------------------------------------
ผมสนใจข้อ 21 ที่หา locus ของจุด

Focus อยู่ที่ $ (0,\frac{1}{16})$ ดังนั้น สมการเส้นตรงที่ผ่านโฟกัส คือ $ y- \frac{1}{16} = mx $

ดังนั้น จุดตัดเส้นตรงกับพาราโบลา สอดคล้องกับ $ 4x^2 - mx - \frac{1}{16} = 0 $ ซึ่งทุกจำนวนจริง m จะมีจำนวนจริง x 2 จำนวนต่างกันมารองรับเสมอ ,say, $ x_1 ,x_2 $

เท่ากับว่า พิกัด midpoint คอร์ด คือ $ (\frac{x_1+x_2}{2} , 2(x_1^2 +x_2^2)) = (\frac{m}{8} , \frac{2m^2+1}{16}) $

(สมการครึ่งหลัง ใช้สูตรผลบวก ผลคูณรากสมการกำลังสอง)

ดังนั้น locus ของ midpoint กำกับด้วยสมการ $ y = 8x^2 +\frac{1}{16}$

-------------------------------------------------------------------------------------

ส่วนอีกข้อที่ผมสนใจ คือ ข้อ 33 ครับ (แต่ผมขอใช้ความรู้เกินหลักสูตรนะครับ)

Take $ x_n = 3 \sin\theta_n$ โดย $\theta_n$ อยู่ในจตุภาคที่ 1 (รวม 0 กับ 90 องศาด้วย)

เงื่อนไขโจทย์ จึงเทียบเท่ากับ $ \frac{\sin \theta_n}{\cos (\theta_{n+1}/2) +\sin (\theta_{n+1}/2) } \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sin (\theta_n) \geq \sin(\theta_{n+1}/2 +\frac{\pi}{4}) \Rightarrow \theta_{n+1} \leq 2\theta_n - \frac{\pi}{2}$

อสมการสุดท้าย implies 2 อย่างคือ $ \theta_n$ เป็นลำดับไม่เพิ่ม (เพราะมุมจำกัดในจตุภาคที่ 1 )

และ ทุกมุมต้องมีค่าอย่างน้อย $ \frac{\pi}{4}$ ด้วย

Now ลำดับ $\theta_n $ bounded และ nonincreasing แสดงว่ามี limit ,say ,L และ $ L \leq 2L - \frac{\pi}{2}$

จากอสมการและ by nonincreasing แสดงว่า ลำดับนี้ เป็น constant sequence ลู่เข้าหา $ L= \frac{\pi}{2}$

และทำให้ $x_n =3 $