[Pitchayut]

ข้อ 1. ผมมีวิธีง่ายกว่านั้น

ให้ $Q(x)=x^3+x+1$ มี $a, b, c$ เป็นราก

เห็นได้ชัดว่า $k\cdot Q(\sqrt{x})$ มี $a^2, b^2, c^2$ เป็นราก เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ (จริงใช่ไหม)

หลังจากนั้นเราก็แทนค่า

$k({\sqrt{x}}^3+\sqrt{x}+1)=0$

$k(x+1)\sqrt{x}=-k$

$k^2 x(x^2+2x+1)=k^2$

$k^2(x^3+2x^2+x-1)=0$

เราจะได้ $P(x)=k^2(x^3+2x^2+x-1)$

จากโจทย์ $P(0)=-2$ แทนลงไปตรงๆ จะได้ $k^2=2$

ดังนั้น $P(4)=2(4^3+2\cdot 4^2+4-1)=198$

หมายเหตุ : ไอเดียนี้มาจากหนังสือ Art Of Problem Solving หน้า 273

ส่วนข้อ 2 ผมสร้างความสัมพันธ์เวียนเกิดได้ โดยให้ $s_x=x+\displaystyle{\frac{1}{x}}$

จากสูตรของ viete กรณีสองพจน์ ที่กล่าวไว้ว่า

$(ax^n+by^n)=(x+y)(ax^{n-1}+by^{n-1})-xy(ax^{n-2}+by^{n-2})$

ซึ่งพิสูจน์โดยการกระจายทั้งสองข้างได้ จะได้ว่า

$\displaystyle{s_n=\left(\,x+\frac{1}{x}\right)s_{n-1}-s_{n-2}}$

เพราะว่า $x^2+x+1=0$ เมื่อหาร $x$ ทั้ง 2 ข้างจะได้ $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=-1}$

ดังนั้นจะได้ว่า $s_n=-(s_{n-2}+s_{n-1})$ โดยมีค่าเริ่มต้นคือ $s_0=2, s_1=-1$

แล้วก็ไล่หาไปตั้งแต่ 2-27 แล้วนำมาบวกกันก็จะได้คำตอบ