อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~
สุดยอดครับ  ปีนี้ขอใหได้เข้า สสวท นะครับ  |
สูงไปไหมเนี่ยพี่อาร์ท
ถึงทำได้ตอนนี้คะแนนคงไม่เพิ่มขึ้นหรอกครับ 55555 ยังไม่รู้ว่าจะติดหรือเปล่าเลยค่าย 3 อ่ะครับ
พึ่งเจอน่าจะดูก่อนไปสอบ เฉลยของเขาบอกไว้อย่างงี้ครับ
WLOG . suppose $p=a+b+c=1,q=ab+bc+ca,r=abc$
$\left|\,ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|= |(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|$
Then inequality desired takes the form
$$\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2} \leq k(1-2q)^2$$
LHS. L satisfies
$$L=\sqrt{-27\left(\,r-\dfrac{9q-2}{27}\right)^2+\dfrac{4(1-3q)^3}{27}} \leq \sqrt{\dfrac{4(1-3q)^3}{27}}$$
Thus , we need to maximize the function
$$f(q)=\dfrac{2(1-3q)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^2}$$
Differentiating this function gives
$$f'(q)=\dfrac{-(6q+1)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^3}$$
The equation $f'(d)=0$ gives $q= -\dfrac{1}{6},q=\dfrac{1}{3}$ . It follows that
$$f(q) \leq f(-\dfrac{1}{6})=\dfrac{9\sqrt{2}}{32}$$ for all $q \leq \dfrac{1}{3} $