ถ้าอยากได้คำตอบทั้งหมดที่เป็นไปได้ ลองเอาแนวคิดข้อที่ง่ายกว่านี้ไปคิดนะครับ
ทำได้ครับ แต่มันเยอะ ต้องไล่กรณี
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ โดยที่ $a,b, c$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ต่างกันหมด
ให้ $a < b < c $ จะได้ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > \frac{1}{c}$
ดังนั้น $\frac{3}{c} < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{3}{a}$
นั่นคือ $\frac{3}{c} < 1 < \frac{3}{a}$
แสดงว่า $a < 3$
ดังนั้น $a = 1, 2$ เห็นชัดว่า $a \ne 1$
แสดว่า $a = 2$ เท่านั้น
แทนลงในสมการแรกจะได้ $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$
ทำนองเดียวกัน จะได้ $\frac{2}{c} < \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{2}{b}$
$\frac{2}{c} < \frac{1}{2} < \frac{2}{b}$
แสดงว่า $b < 4$
แต่ว่า $b > a$ ดังนั้น $b = 3$ เท่านั้น
แทนค่า จะได้ $c = 6$
ดังนั้น $(a, b, c) = (2, 3, 6)$
ถ้าเป็นข้อนี้ มันจะต้องพิจารณา $a$ หลายค่าที่เป็นไปได้ และในแต่ละค่าจะมี $b$ หลายค่าที่เป็นไปได้
ถ้าสนใจจะแก้จริง ๆ ก็ต้องยอมเหนื่อย นั่งแทนค่าไล่ไปเรื่อย ๆ ไม่นาน (หรือเปล่า) ก็ครบทุกค่าครับ
