อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker
จำนวนนับใดๆ ถ้าเราถอด root ก่อน แล้วเอามาบวกกัน
กับเอามาบวกกันก่อน แล้วค่อยถอด root
คุณว่าอันไหนจะมากกว่ากัน
เช่นถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนนับแล้ว
$\sqrt{a} $ + $\sqrt{b} $ + $\sqrt{c} $ + $\sqrt{d} $ กับ $\sqrt{a + b + c + d} $ อันไหนจะมากกว่ากัน
สุดท้าย ถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนจริง (แทนที่จะเป็นจำนวนนับ) คำตอบจะยังเหมือนเดิมไหม
|
พิสูจน์ จาก Cauchy-Schwarz
$x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+...+x_ny_n\leqslant \sqrt{x^2_1+x^2_2+..+x^2_n}\sqrt{y^2_1+y^2_2+...+y^2_n}$
ดังนั้น
$\sqrt{a}(1)+\sqrt{b}(1)+\sqrt{c}(1)+\sqrt{d}(1)\leqslant \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{a+b+c+d}
$
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\leqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$
นั่นคือยังมิอาจสรุปได้ว่า $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ หรือ $\sqrt{a+b+c+d}$ ว่าค่าใดมากกว่ากัน
ในกรณีนี้ Fix!! ไว้แล้ว ว่า a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ