[nooonuii]

การใช้อสมการ $AM-GM$ จะขึ้นอยู่กับจำนวนตัวแปรครับ เวลาพิสูจน์อสมการให้มองที่ตัวเลขที่ปรากฎอยู่ในอสมการครับ

ข้อ 1 ในอสมการมีตัวเลข $2$ ปรากฎอยู่ แถมกำลังของตัวแปรตัวหนึ่งก็เป็นสองเท่าของอีกตัวหนึ่ง จึงควรคิดว่าน่าจะใช้ AM-GM สำหรับ $2$ ตัวแปร จากนั้นเราก็พยายามจัดรูปอสมการให้เข้ากับ $AM-GM$ สำหรับ $2$ ตัวแปรให้มากที่สุด แล้วเราจะเห็นว่าควรจะเลือกตัวแปรสองตัวนั้นเป็นอะไรครับ

ข้อ 2 ในอสมการมีตัวเลข $2$ ปรากฎอยู่หลายที่ แถมยังมีรากที่ 2 ด้วยอีกต่างหากซึ่งใกล้เคียงกับรูปแบบของอสมการ AM-GM สำหรับ 2 ตัวแปรมากๆ อย่างนี้ก็ควรคิดว่าน่าจะใช้ AM-GM สำหรับ $2$ ตัวแปร แต่อาจจะต้องมีการจัดรูปอสมการอีกเล็กน้อย ซึ่งส่วนใหญ่ก็ใช้วิธีทำย้อนกลับครับ

ข้อ 3 ตัวแปรที่โดดเด่นที่สุดในอสมการคือ $n$ ครับ อย่างนี้คงต้องใช้ .........??
วิธีการนี้อาจจะใช้ไม่ได้เสมอไปครับ บางครั้งเราก็ต้องดูองค์ประกอบอย่างอื่นด้วยเช่นอสมการ
$$\frac{x}{2}+\frac{2}{x^2}\geq\frac{3}{2}$$
มี $2$ อยู่เต็มไปหมด แต่ต้องใช้ AM-GM $3$ ตัวแปร ซึ่งก็เป็นไปได้เพราะ $3$ ก็ปรากฎอยู่ในอสมการ บางครั้งอสมการมีการยุบรวมเทอมที่เหมือนกันมาไว้ด้วยกันก็อาจจะทำให้มองยากขึ้นครับ อสมการนี้ถ้าผมเขียนว่า
$$\frac{x}{4}+\frac{x}{4}+\frac{2}{x^2}\geq\frac{3}{2}$$
ก็น่าจะทำได้ใช่ไหมครับ

คงต้องฝึกทำโจทย์เยอะๆครับ แล้วประสบการณ์จะช่วยให้เราเข้าใจแนวคิดมากขึ้น แถมโจทย์ให้ครับ
ให้ $a,b,c>0$ พิสูจน์ว่า
4. $a^3+3b^3+9c^3\geq 9abc$

5. $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq\dfrac{9}{3+a+b+c}$

6. $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq 8abc$