Partition Function คือฟังก์ชัน $p(n)$ สำหรับ $n \in I^+$ นิยามดังนี้
$p(n) = จำนวนวิธีในการเขียนการบวกกันของจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ n และผลบวกนั้นเท่ากับ n (ไม่สนใจการสลับที่)$
(ดูรายละเอียดเพิ่มเติมที่
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory) ครับ)
เช่น
$p(3) = 3$ เพราะว่า $3 = 1+1+1 = 2+1 = 3$ (3 วิธี)
$p(4) = 5$ เพราะว่า $4 = 1+1+1+1 = 2+1+1 = 2+2 = 3+1 = 4$ (5 วิธี)
ผมไม่แน่ใจว่ามีใครพบรูปทั่วไปของฟังก์ชันนี้ก่อนหน้านี้หรือยัง ถ้ามีแล้วก็ขออภัยด้วยครับ
ก่อนอื่นนิยามฟังก์ชัน:
$p(n,k) = จำนวนวิธีในการเขียนการบวกกันของจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ k และผลบวกนั้นเท่ากับ n (ไม่สนใจการสลับที่) (n, k \in I^+)$
จะเห็นว่า $p(n) = p(n,n)$
รูปทั่วไปของฟังก์ชันนี้ที่พบเป็นดังนี้ครับ
$p(n,k) = \cases{1 & เมื่อ n = 1 หรือ k = 1
\cr \sum_{i = 1}^{k} p(n - i, i) & เมื่อ 1 < k < n
\cr 1 + p(n, n - 1) & เมื่อ k \geqslant n}$
และ
$p(n) = p(n,n) = \cases{1 & เมื่อ n = 1 \cr 1 + p(n,n - 1) & เมื่อ n > 1}$
สำหรับที่มาจะเอามาแสดงในโอกาสหน้านะครับ