จำนวนเต็มบวก n ที่มีตัวประกอบ 4 จำนวน
n เป็นได้ 2 แบบ คือ
$ 1. n=a^3$
$ 2. n=b\times c$
แบบที่ 1 ตัวประกอบของ n คือ $ 1,a,a^2,a^3 $
แบบที่ 2 ตัวประกอบของ n คือ $ 1,b,c,b\times c $
ตามเงื่อนไขโจทย์
แบบที่ 1
$ a^3 +1= 4(a+a^2) $
จัดรูปแบบเพื่อให้ตัดกันได้ เติม $3a^2+3a$ ทั้ง 2 ข้าง
$ a^3 +3a^2+3a+1 = 4a+a^2+3a^2+3a $
$ (a+1)^3 = 7a+7a^2 $
$ (a+1)^3 = 7a(1+a) $
$ (a+1)^2 = 7a $
ลองพิจารณาดู
ถ้า a เป็นจำนวนคี่ ผลลัพธ์ฝั่งซ้ายของสมการเป็นจำนวนคู่ แต่ฝั่งขวาเป็นจำนวนคี่ และ
ถ้า a เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์ฝั่งซ้ายของสมการเป็นจำนวนคี่ แต่ฝั่งขวาเป็นจำนวนคู่
ดังนั้น แบบที่ 1 เป็นไปไม่ได้
พิจารณา แบบที่ 2
$ bc + 1 = 4(b+c) $
$ bc + 1 = 4b+4c $
$ bc -4b-4c +16 = -1+16 $
$ (b-4)(c-4) = 15 $
ถ้าให้ b น้อยกว่า c
$ 15 = 1\times 15 หรือ 3\times 5 $
คำตอบของสมการมี 2 แบบ คือ
$ (b,c) = (5,19) และ (7,9)$
แต่ 9 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
$ n จึงเท่ากับ 5\times 19 = 95 $