ข้อสังเกตที่ได้จากข้อ 7) และ 8) ถ้ามีติดเลขยกกำลัังเราจะใช้วิธีการดึงตัวร่วมออก
ดังนั้น จึงได้ว่า การยกกำลังยังใช้กฎเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนจริงครับ
ต่อไปจะกล่าวถึงลิมิตเมื่อ $x$ ลู่เข้าสู่ค่าอนันต์กันบ้าง เช่น
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-1}$$ โดยทั่วไปจะต้องจัดรูปให้สามารถแทนค่าด้วย $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$
ดังนั้นข้อนี้จึงทำการหารด้วย $x$ ทั้งเศษและส่วน จะได้ว่า
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{1}{1-0}=1$$
และอาจสรุปได้ว่าเราจะเปลี่ยนรูปให้แทนค่าได้โดยตัวส่วนไม่เท่ากับ 0 ต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยพจน์ที่มีกำลังสูงสุดของตัวส่วน เช่น ตัวอย่างต่อไปนี้
$Ex1$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-12}{x^3+5x-1}$$ พจน์ที่มีกำลังสูงสุดของตัวส่วนคือ $x^3$
ดังนั้นเราจึงหารทั้งเศษและส่วนด้วย $x^3$ จะได้ว่า
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-12}{x^3+5x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{12}{x^3}}{1+\frac{5}{x^2}-\frac{1}{x^3}}=0$$
$Ex2$ $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+5x-1}{2x^2-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{5}{x}-\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2}$$
$Ex3$ $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x-5}{x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x+1-\frac{5}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\infty$$ด้วยวิธีการนี้เราจึงแบ่งค่าลิมิตได้ 3 กรณีดังนี้
$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}$
1) เท่ากับ $0$ เมื่อ $f(x)$ มีดีกรีน้อยกว่า $g(x)$
2) $\frac{สปส. ดีกรีสูงสุดของ f(x)}{สปส. ดีกรีสูงสุดของ g(x)}$ เมื่อ $f(x)$ และ $g(x)$ มีดีกรีเท่ากัน
3) มีค่าเป็นอนันต์ เมื่อ $f(x)$ มีดีกรีมากกว่า $g(x)$
จากนี้จะกล่าวถึงลิมิตที่ลู่ออกเท่านั้น เราจะมีวิธีพิจารณาอย่างไรว่าค่าลิมิตลู่ออกไปสู่ $-\infty$ หรือ $\infty$
$1) \lim_{x\to\infty}(2x^2-3x+1)$
$2) \lim_{x\to\infty}(4x^5+x^2+4)$
$3) \lim_{x\to-\infty}(2x^4-x^3+2x-1)$
|