[กิตติ]

ให้ $4n+1=a^2 \rightarrow n=\frac{(a+1)(a-1)}{4} $
$6n+1=b^2\rightarrow n=\frac{(b-1)(b+1)}{6} $
จะได้ว่า $b> a$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก

$\frac{(a+1)(a-1)}{4}=\frac{(b-1)(b+1)}{6}$
$3(a+1)(a-1)=2(b-1)(b+1)$
$3a^2-3=2b^2-2$
$3a^2-2b^2=1$
$a^2=\frac{1+2b^2}{3} ,b^2=\frac{3a^2-1}{2} $
$a^2$ หารด้วย 3 ลงตัว และ $b^2$ หารด้วย 2ลงตัว
$a$ หารด้วย 3 ลงตัว และ $b$ หารด้วย 2ลงตัว

มึน หิวข้าว ทิ้งไว้ก่อนเดี๋ยวไปพักสมองกับเติมพลังแล้วมาลุยต่อ

จาก $2n=(b-a)(b+a) $
เนื่องจาก $a\not= b \rightarrow n>0$ และ $b+a>b-a$
แยกได้เป็น
1.$b-a=2,b+a=n$
$n=2a+2$ แทนในสมการ $4n+1=a^2 $
$4(2a+2)+1=a^2$
$8a+9=a^2$
$a^2-8a-9=0\rightarrow (a-9)(a+1)=0 \rightarrow a=9$
$n=20$
2.$b-a=n,b+a=2$ กรณีนี้ $n<2$ เหลือ $n=1$ ซึ่งค่าไม่สอดคล้องกับสมการ
3.$b-a=1,b+a=2n$
$2a=2n-1 \rightarrow n=\frac{2a+1}{2} $ แทนในสมการ $4n+1=a^2 $
$2(2a+1)+1=a^2 \rightarrow a^2-4a-2=0$
ได้คำตอบสมการที่ $a$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม

ดังนั้นเหลือแต่ $n=20$