เอาข้อทีผมทำได้ไปก่อนละกัน 555
สังเกตว่า $\dfrac{d^j}{dx^j}x^n=n(n-1)(n-2)...(n-j+1)x^{n-j}$
เพราะฉะนั้น $j=8$ สอดคล้อง เนื่องจาก $2016\mid 8!$ และ $8!\mid n(n-1)...(n-7)$
ส่วนการแสดงว่า $j\le 7$ ไม่ได้ ให้เลือก $p(x)=x^8$
จำนวน squarish สามารถเขียนได้แบบเดียวในรูป $x^2+y^2$ เมื่อ $y^2\le 2x$ เพราะฉะนั้น
$$S(N)=\sum_{x^2+y^2\le n, y^2\le 2x}1=\sum_{x\le\sqrt{N}}\sum_{y^2\le\min\{N-x^2,2x\}}1$$
สังเกตว่า $0<\sqrt{N+1}-\sqrt{N}\le 1$ เพราะฉะนั้นมีจำนวนเต็มอย่างมากจำนวนเดียวในช่วง $(\sqrt{N+1}-1,\sqrt{N})$
ซึ่งเมื่อ $x$ เท่ากับจำนวนนั้น จะส่งผลต่อผลบวกไม่เกิน $N-(\sqrt{N+1}-1)^2=2(\sqrt{N+1}-1)=O(\sqrt{N})$
สังเกตว่า $x\le\sqrt{N+1}-1\Leftrightarrow N-x^2\ge 2x$ เพราะฉะนั้น
$$\left(S(N)=\sum_{x_\le\sqrt{N}}\sum_{y^2\le 2x}1\right)+O(\sqrt{N})=\sum_{x\le\sqrt{N}}(\sqrt{2x}+O(1))+O(\sqrt{N})=\sum_{x\le\sqrt{N}}\sqrt{2x}+O(\sqrt{N})$$
ผลบวกด้านซ้ายสามารถประมาณได้โดยใช้ Partial Summation Formula
$$\sum_{x\le\sqrt{N}}\sqrt{2x}=\sqrt{N}\sqrt{2\sqrt{N}}-\int_{1}^{\sqrt{N}}\lfloor x\rfloor\dfrac{1}{\sqrt{2x}}dx=\sqrt{2}N^{0.75}-\int_{1}^{\sqrt{N}}\dfrac{x}{\sqrt{2x}}+\int_{1}^{\sqrt{N}}\dfrac{\{x\}}{\sqrt{2x}}$$
Integral ซ้าย สามารถคำนวณได้โดยตรงเป็น $\dfrac{\sqrt{2}}{3}N^{0.75}+O(1)$ และอินทิกรัลขวาคือ $O(\sqrt{N})$
เพราะฉะนั้น เราได้สูตร $S(N)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}N^{0.75}+O(\sqrt{N})$ ซึ่งให้คำตอบที่ต้องการ
: โจทย์คลาสสิกครับ เลือก $3$ จุด $D,E,F$ ที่ form ตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุด
จากนั้นให้ $\Delta PQR$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี $D,E,F$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน
สมมติว่ามีจุด $T$ ที่อยู่นอก $\Delta PQR$ จะพบว่าเกิดสามเหลี่ยมใหม่ที่มีพื้นที่มากกว่า (ลองวาดรูปประกอบดู)
ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง ลาก $PS$ ตั้งฉาก $QR$ ที่ $S$ แล้วให้ $P'$ เป็นจุดบนส่วนต่อของ $PS$ ที่ทำให้พื้นที่ของ $\Delta P'QR$ เท่ากับ $4$
จะได้ว่า $\Delta P'QR$ เป็นสามเหลี่ยมที่โจทย์ต้องการ