[Beatmania]

A1

ใช้จากที่ว่า จำนวนนับ $k$ จำนวนเรียงถัดกันจะมี $k!$ เป็นตัวประกอบเสมอและ $2016|8!,2016\nmid 7!$

A2

กระจายๆ จะได้ว่า

$$M(n)=\lfloor\frac{3n-1+\sqrt{5n^2-10n+1}}{2}\rfloor$$

ได้คำตอบคือ $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$

A3

ได้ไม่ยากว่า

$$f(x)=\frac{1}{2}(tan^{-1}x+tan^{-1}(\frac{1}{1-x})-tan^{-1}(\frac{x-1}{x}))$$

ดังนั้น

$$\int_{0}^{1}\ f(x)dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[(tan^{-1}x+tan^{-1}(\frac{1}{1-x})\right] \ dx +\frac{1}{2}\int_{0}^{1}tan^{-1}(\frac{1-x}{x})\ dx$$

ทั้งสองพจน์สามารถจัดการได้โดยการเปลี่ยนตัวแปร $x\rightarrow 1-x$ และใช้เอกลักษณ์ $tan^{-1}x+tan^{-1}(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}$

พจน์หลังจะได้ค่าเท่ากับ $\frac{\pi}{8}$ พจน์หน้าจัดการได้ค่าเท่ากับ $\frac{\pi}{4}$ สรุปแล้วตอบ $\frac{3\pi}{8}$

A4

แทนแต่ละช่องของตารางด้วยสมาชิกใน matrix ขนาด $(2n-1)\times(2m-1)$

จะระบายสีสี่สี

โดยระบายสีที่ 1 ในช่อง $a_{ij}$ ที่ $i$ และ $j$ เป็นจำนวนคี่

โดยระบายสีที่ 2 ในช่อง $a_{ij}$ ที่ $i$ และ $j$ เป็นจำนวนคู่

โดยระบายสีที่ 3 ในช่อง $a_{ij}$ ที่ $i$ เป็นจำนวนคี่ และ $j$ เป็นจำนวนคู่

โดยระบายสีที่ 4 ในช่อง $a_{ij}$ ที่ $i$ เป็นจำนวนคู่ และ $j$ เป็นจำนวนคี่

การปูกระเบื้อจะทับช่องที่มีสีต่างกันเสมอ ดังนั้นจึงต้องใช้สีเท่ากับจำนวนช่องที่มีสีซ้ำกันมากที่สุด (สีที่ 1) ซึ่งมีค่าเท่ากับ $mn$

B1

จาก $e^x\geq x+1$ จะได้ว่า $x_{n+1}=\ell n(e^{x_n}-x_n)\geq\ell n(1)$ หรือก็คือ $x_{n} \geq 0$ สำหรับทุกจำนวนเต็มไม่ติดลบ $n$ (ลำดับมี Lower bound)

และจากที่ $x_n\geq 0$ จะได้ว่า $x_{n+1}=\ell n(e^{x_n}-x_n)\leq\ell n(e^{x_n})$ หรือก็คือ $x_{n+1} \leq x_n$ สำหรับทุกจำนวนเต็มไม่ติดลบ $n$ (เป็นลำดับไม่เพิ่ม)

ดังนั้นแล้วลำดับนี้ลู่เข้าสู่จำนวนจริง $L$ จำนวนหนึ่ง แสดงต่อได้ไม่ยากว่า $L=0$

และจากที่ $x_{n+1}=\ell n(e^{x_n}-x_n)$ จะได้ว่า $x_n=e^{x_n}-e^{x_{n+1}}$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$

ดังนั้น

$$\sum_{n = 0}^{\infty} x_n=\sum_{n = 1}^{\infty}e^{x_n}-e^{x_{n+1}} =e-e^{\lim_{n \to \infty} x_n}=e-1$$

B2

ให้ $O(S(n))=\beta n^{\alpha}$ จะได้ว่า

$O(S([n+1]^2))=\beta n^{2\alpha}$

และสังเกตได้ไม่ยากว่า Squarish number จะเขียนอยู่ในรูป $t^2+s^2$ หรือ $(t+1)^2-s^2$ โดยที่ $ 0\leq s^2\leq t$

ดังนั้นแล้วในช่วง $(i^2,(i+1)^2]$ จะมีจำนวน Squarish ทั้งหมด $2\left\lfloor\sqrt{i} \right\rfloor \sim 2\sqrt{i} $ ตัว

เมื่อรวมทุกช่วงที่เป็นไปได้ $S((N+1)^2)$ จะมีค่าประมาณ

$$2(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{N})\sim 2\int_{0}^{N}\sqrt{x}dx \sim \frac{4}{3}N^{1.5}$$

ดังนั้น $O(S([n+1]^2))=\frac{4}{3} n^{\frac{3}{2}}$

สุดท้ายจะได้ $\alpha = \frac{3}{4},\beta = \frac{4}{3}$

B3

มันคือแบบฝึกหัด Extremal ปกติเลยครับ อันนี้ผมเข้าใจผิดอะไรหรือเปล่า = =

พิจารณาสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่มากที่สุด แล้ววาดรูปคล้ายกันทั้งสี่ด้าน