ต่อจาก #30
พิจารณา (n,2554) เมื่อ n มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง 2554
n=1 ; (1,2554) = 1 จะได้ 1/(1,2554) = 1
n=2 ; (2,2554) = 2 จะได้ 1/(2,2554) = 1/2
n=3 ; (3,2554) = 1 จะได้ 1/(3,2554) = 1
n=4 ; (4,2554) = 2 จะได้ 1/(4,2554) = 1/2
.
.
.
n=1276 ; (1276,2554) = 2 จะได้ 1/(1276,2554) = 1/2
n=1277 ; (1277,2554) = 1277 จะได้ 1/(1277,2554) = 1/1277
n=1278 ; (1278,2554) = 2 จะได้ 1/(1278,2554) = 1/2
.
.
.
n=2553 ; (2553,2554) = 1 จะได้ 1/(2553,2554) = 1
n=2554 ; (2554,2554) = 2554 จะได้ 1/(2554,2554) = 1/2554
จะได้ $\sum_{n = 1}^{2554}\frac{1}{(n,2554)}=1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}+\frac{1}{1277}+\frac{1}{2}+...1+\frac{1}{2554}$
$=1914+\frac{1}{1277}+\frac{1}{2554}$
ดังนั้น $2554\sum_{n = 1}^{2554}\frac{1}{(n,2554)}=2554(1914+\frac{1}{1277}+\frac{1}{2554})=(2554\times 1914)+2+1=(2554\times 1914)+3$
ดังนั้น $\frac{2}{2554} \sum_{n = 1}^{2554}[n,2554]-2554\sum_{n = 1}^{2554}\frac{1}{(n,2554)}=2({1277}^2+640)-(2554\times 1914)-3$
|