[ทิดมี สึกใหม่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ข้อนี้ืทำยังไงครับ

$1+n+\frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 2 ^k$

หลังจากยำไปยำมาแล้วได้

$\frac{n^3}{6} + \frac{5n}{6} +1 = 2^k \ \ \ $

แล้วจะต่อยังไงครับ

ถ้าต้องลองแทนค่า n ไปเรื่อยๆ แล้วมันจะสิ้นสุดตรงไหน เช่น

$ n = 1 \ \ \to \ k=1$

$ n = 2 \ \ \to \ k=2$

$ n = 3 \ \ \to \ k=3$

$ n = 4 \ \ \to \ $ไม่มีค่า $2^k$
.
.
$ n = 7 \ \ \to \ k=6$

ข้อนี้จบที่ n ตัวสุดท้ายที่
$ n = 23 \ \ \to \ k=11$
ดังนั้น ผลรวมค่า n = 1+2+3+7+23 =36 ตอบ

อีกวิธี
$\frac{n^3}{6} + \frac{5n}{6} +1 = \frac{n^3}{6} + \frac{5n}{6} +\frac{6}{6}=2^k \ \ \ $ ได้

$n^3$-$n^2$+6n+$n^2$-n+6=2x3x$2^k$

($n^3$-$n^2$+6n)+($n^2$-n+6)=2x3x$2^k$

n($n^2$-n+6)+($n^2$-n+6)=2x3x$2^k$

(n+1)($n^2$-n+6)=2x3x$2^k$

Case I ถ้า n+1 = $2^m$ ,m=จำนวนเต็มบวก -->n=$2^m$-1 ดังนั้น
$n^2$-n+6=$2^{2m}$-3x$2^m$+8
m>3 จะหาค่าไม่ได้ ดังนั้น
m=1 --> n=1
m=2 --> n=3
m=3 --> n=7
Case II ถ้า n+1 = 3x$2^m$ ,m=ไม่ใช่จำนวนเต็มลบ -->n=3x$2^m$-1 ดังนั้น
$n^2$-n+6=9x$2^{2m}$-9x$2^m$+8
m>3 จะหาค่าไม่ได้ ดังนั้น
m=0 --> n=2 Ok
m=1 --> n=5 แทนค่าแล้ว (n+1)($n^2$-n+6) ไม่เท่ากับ 2x3x$2^k$
m=2 --> n=11 แทนค่าแล้ว (n+1)($n^2$-n+6) ไม่เท่ากับ 2x3x$2^k$
m=3 --> n=23 Ok

สรุป ผลรวมค่า n=1+2+3+7+11=36 ตอบ