[XIIIX]

$สมมติฐาน1^2+3^2+5^2+...+k^2 =\frac{\displaystyle{(k)(k+1)(k+2)}}{\displaystyle{6}} \\
Induction \qquad P(1)=1=\frac{\displaystyle{1*2*3}}{\displaystyle{6}}=1\\
สมมุติ P(k) เป็นจริงแล้วต้องแสดงP(k+1)เป็นจริง\\
\begin{array}{c}1^2+3^2+5^2+...+k^2+(k+2)^2=\frac{\displaystyle{(k)(k+1)(k+2)}}{\displaystyle{6}}+(k+2)^2\\
=\frac{\displaystyle{(k)(k+1)(k+2)+6(k+2)^2}}{\displaystyle{6}}\\=\frac{\displaystyle{(k+2)(k(k+1)+6(k+2)}}{\displaystyle{6}}\\
=\frac{\displaystyle{(k+2)(k^2+7k+12)}}{\displaystyle{6}}\\=\frac{\displaystyle{(k+2)(k+3)(k+4)}}{\displaystyle{6}}\end{array}\\
P(k+1)เป็นจริงเพราะฉะนั้น1^2+3^2+5^2+...+k^2 =\frac{\displaystyle{(k)(k+1)(k+2)}}{\displaystyle{6}}เป็นจริงจากการInduction $