กำหนดจุด P และจุด Q อยู่บน Perpendicular bisectors ของด้าน AB
โดยที่ มุม APE = มุม ADX และ มุม PAQ = มุม DAX
เป็นการเพียงพอสำหรับการพิสูจน์ ถ้าเราแสดงให้เห็นได้ว่า P และ Y คือจุดเดียวกัน
เนื่องจาก สามเหลี่ยม ADX คล้ายกับ สามเหลี่ยม APQ ทำให้ AD/AP = AX/AQ
แต่ มุม DAP = มุม XAQ ดังนั้น สามเหลี่ยม DAP คล้ายกับ สามเหลี่ยม XAQ
AD/AX = DP/QX ????????(1)
ทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม BCX คล้ายกับ สามเหลี่ยม BPQ ทำให้ BC/BX = BP/BQ
แต่ มุม PBC = มุม QBX ดังนั้น สามเหลี่ยม PBC คล้ายกับ สามเหลี่ยม QBX
BC/BX = CP/QX ?????????(2)
แต่สามเหลี่ยม AXD คล้ายกับ สามเหลี่ยม BXC
AD/AX = BC/BX ???????..(3)
จาก (1), (2), (3) เราได้ CP = DP
เนื่องจาก Y เป็น unique point ดังนั้น Y กับ P คือจุดๆเดียวกัน
ให้สังเกตว่า คำกล่าวอ้างของโจทย์ จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ AB ต้องไม่ขนานกับ CD
|