วันที่สอง 4 พฤษภาคม 2548
อัตนัย แสดงวิธีหาคำตอบ 6 ข้อ 42 คะแนน เวลาสอบ 4 ชั่วโมง
1. (โจทย์จริงมีรูปให้)
BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
A เป็นจุดภายนอกของวงกลมซึ่งทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC
AB และ AC ตัดวงกลมที่จุด D และจุด E ตามลำดับ
CD ตัด BE ที่จุด F
AF ตัดวงกลมที่จุด G
ต่อ AF ไปพบ BC ที่จุด H
จงพิสูจน์ว่า AH
ทFH = (GH)
2
2. S เป็นเซตของจำนวนเต็มที่ต่างกันสามจำนวน จงแสดงว่า ต้องมี a,b
ฮ S ซึ่ง a
น b และ 10
ฝ a
3b - ab
3
3. มีฟังก์ชัน f: N
ฎN ซึ่ง f(f(n)) = 2n สำหรับทุกจำนวนนับ n หรือไม่? ถ้ามี จงยกตัวอย่างฟังก์ชันดังกล่าว พร้อมแสดงให้เห็นจริงว่าฟังก์ชันนั้นสอดคล้องกับสมบัติที่กำหนดให้
4. (โจทย์จริงมีรูป)
ให้ O
1 เป็นจุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง
ให้ O
2 เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่แนบในครึ่งวงกลมแรกและสัมผัสกับ AB ที่จุด O
1
ให้ O
3 เป็นจุดบน AB และเป็นจุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลทมี่สัมผัสวงกลมสองวงแรก
P เป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากกับ AB ที่จุด O
3 และเส้นที่ผ่านจุด O
2 และขนานกับ AB
จงแสดงว่า P เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสสามวงแรก
5. ในวันเปิดเทอมของชั้น ม.1/1 มีนักเรียนเข้าใหม่ 50 คนที่ยังไม่มีใครรู้จักกันเลย ในเช้าวันนั้น ครูจัดให้นักเรียนทั้งหมดยืนเรียงแถวหน้ากระดาน และอนุญาตให้นักเรียนได้ทำความรู้จักกับเพื่อนที่ยืนติดกันเท่านั้น ในบ่ายวันเดียวกัน ครูจัดให้นักเรียนทุกคนยืนแถวตอนเรียงหนึ่ง และต้องการให้นักเรียนแต่ละคนมีเพื่อนที่รู้จักกันจากช่วงเช้าอยู่ด้านหน้า (ไม่จำเป็นต้องยืนติดกัน) อย่างน้อยคนหนึ่งเสมอ ครูมีวิธีการจัดแถวในตอนบ่ายได้ทั้งหมดกี่วิธี
6. กำหนด a,b,c เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน จงพิสูจน์ว่า
{(2a-b)/(a-b)}
2 + {(2b-c)/(b-c)}
2 + {(2c-a)/(c-a)}
2 ณ 5
Hints :
ข้อ 3 และ 6 ยากมากๆ ไม่มีใครทำได้เต็ม